Aplicações das formas modulares à teoria de números

Abstract

Uma forma modular de peso k é uma função holomorfa no semiplano superior H que satisfaz uma lei de transformação específica sob a ação de um subgrupo do grupo modular e possui crescimento controlado nas cúspides. Neste trabalho, estudamos as propriedades fundamentais dessas funções com ênfase em suas expansões em séries de Fourier, que as caracterizam como formas modulares. Focamos em três exemplos clássicos: a função eta de Dedekind, as funções Theta de Jacobi e as séries de Eisenstein. Como aplicação dos resultados teóricos, apresentamos uma demonstração do Teorema de Hardy-RademacherRamanujan, que fornece uma fórmula exata para a função de partição p(n), a qual conta o número de partições de um inteiro positivo n. Essa demonstração explora, em especial, as propriedades de transformação modular da função η. Além disso, utilizando as séries de Eisenstein, funções Theta e o produtório triplo de Jacobi, demonstramos os teoremas sobre a representação de inteiros como soma de dois, quatro e 2k quadrados.

A modular form of weight k is a holomorphic function on the upper half-plane H that satisfies a specific transformation law under the action of a subgroup of the modular group and has controlled growth at the cusps. In this work, we study the fundamental properties of these functions with emphasis on their Fourier expansions, which characterize them as modular forms. We focus on three classical examples: the Dedekind eta function, the Jacobi Theta functions, and Eisenstein series. As an application of the theoretical results, we present a proof of the Hardy–Rademacher-Ramanujan theorem, which provides an exact formula for the partition function p(n), which counts the number of partitions of a positive integer n. This proof explores, in particular, the modular transformation properties of the η function. In addition, using Eisenstein series, Theta functions and Jacobi’s triple product, we prove theorems concerning the representation of integers as sums of two, four and 2k squares.