ANN-Flux method: a deep learning neural network approach for solving nonlinear scalar conservation laws

Abstract

Resolver problemas regidos por leis de conservação é de grande importância, uma vez que uma ampla gama de fenômenos observados na natureza pode ser descrita por esses tipos de modelos. Nos últimos anos, uma ferramenta altamente versátil ganhou destaque na resolução de equações diferenciais parciais: redes neurais artificiais, em particular métodos baseados em aprendizado profundo. O objetivo desta dissertação é desenvolver um método original baseado em técnicas de aprendizado profundo para resolver problemas de leis de conservação, combinando métodos baseados em aprendizado profundo com a estrutura teórica já estabelecida no campo das leis de conservação. A ideia central é representar a solução de entropia do problema de Riemann como uma composição de ondas de choque e rarefação elementares, cuja estrutura é determinada pelo envelope convexo associado à função de fluxo. O método ANN-Flux foi desenvolvido para lidar com fluxos complicados, cuja avaliação, diferenciação ou inversão direta são computacionalmente caras. O método proposto requer o treinamento de uma rede neural do tipo MLP dedicada à estimativa da função de fluxo, bem como o treinamento de outras redes neurais responsáveis por aproximar o inverso da derivada do fluxo em cada região onde essa derivada é monotônica. Uma extensão do método ANN-Flux para um esquema de Godunov é apresentada, permitindo sua aplicação sob condições iniciais gerais, uma vez que qualquer condição inicial pode ser decomposta em problemas de Riemann locais. Finalmente, uma análise comparativa é realizada entre as soluções de obtidas pelo método ANN-Flux e soluções de referência. Os testes abrangem três problemas distintos de leis de conservação, cada um caracterizado por um fluxo diferente: a equação de Burgers, a equação de Buckley-Leverett e uma equação de fluxo polinomial de quarta ordem. As arquiteturas de rede necessárias mostraramse pequenas, envolvendo poucas camadas e neurônios, o que implica um baixo custo computacional durante a inferência. No geral, o método ANN-Flux mostrou-se capaz de estimar a solução com precisão satisfatória.

Solving problems governed by conservation laws is of great importance, since a wide range of phenomena observed in nature can be described by this type of models. In recent years, a highly versatile tool has gained prominence in solving partial differential equations: artificial neural networks, in particular methods based on deep learning. The objective of this dissertation is to develop a original method based on deep learning techniques for solving conservation laws problems, combining deep learning-based methods with the theoretical framework already established in the field of conservation laws. The central idea is to represent the entropy solution of the Riemann problem as a composition of elementary shock and rarefaction waves, whose structure is determined by the convex-hull associated with the flux function. The ANN-Flux method was developed to handle complicated fluxes, whose direct evaluation, differentiation, or inversion are computationally expensive. The proposed method requires the training of a neural network of the MLP type dedicated to estimating the flux function, as well as the training of other neural networks responsible for approximating the inverse of the flux derivative in each region where this derivative is monotonic. An extension of the ANN-Flux method to a Godunov scheme is presented, allowing its application under general initial conditions, since any initial condition can be treated by decomposing it into local Riemann problems. Finally, a comparative analysis is performed between the solutions obtained by the ANN-Flux method and reference solutions. The tests encompass three distinct conservation laws problems, each characterized by a different flux: the Burgers equation, the Buckley-Leverett equation, and a fourth-order polynomial flux equation. The needed network architectures proved to be small, involving few layers and neurons, which implies a low computational cost during inference. Overall, the ANN-Flux method proved capable of estimating the solution with satisfactory accuracy.