Estimativas da norma de Sobolev Hm das soluções de ut + G(u) = Δ u + f em Rn

Abstract

Neste trabalho, apresentamos um método geral para a obtenção de estimativas assintóticas, quando t → ∞, das normas ∥Dmu(·, t)∥L2(Rn) n de soluções u(·, t) de sistemas parabólicos, ou de problemas difusivos análogos, com ou sem presença de termos fonte, a partir de estimativas previamente conhecidas para ∥Dm0u(·, t)∥L2(Rn) n , para um determinado m0 ≥ 0. O método, desenvolvido em 2020 na UFRGS por P. Zingano e colaboradores, permite a obtenção de estimativas superiores (upper bounds) e inferiores (lower bounds), por meio de procedimentos análogos que exploram a monotonicidade, em tempos grandes, de funcionais zm(t) associados às normas ∥Dmu(·, t)∥L2(Rn) n . Por essa razão, tal abordagem é denominada método da monotonicidade. Como aplicação, o método é empregado no estudo das equações de Navier-Stokes incompressíveis em dimensões 2 ≤ n ≤ 3.

In this text, we present a general method for obtaining asymptotic estimates, as the time t → ∞, for the norms ∥Dmu(·, t)∥L2(Rn) n of solutions u(·, t) to parabolic systems or similar diffusive problems, with or without source terms, based on previously established estimates for ∥Dm0u(·, t)∥L2(Rn) n , for some fixed m0 ≥ 0. The method, developed in 2020 at UFRGS by P. Zingano and collaborators, yields both upper and lower bounds through analogous procedures that exploit the large-time monotonicity of functionals zm(t) associated with the norms ∥Dmu(·, t)∥L2(Rn) n . For this reason, the approach is referred to as the monotonicity method. As an application, we consider the incompressible Navier–Stokes equations in dimensions 2 ≤ n ≤ 3.