Estudo de equações de advecção-difusão conservativas e estimativas de comutadores em espaços de Lebesgue com pesos

Abstract

Nesta tese, trataremos de dois problemas. Primeiramente, usando uma técnica baseada em métodos de energia, fornecemos um estudo rigoroso sobre resultados de existência global e estimativas supnorm para solução fraca de equações de difusão-advecção ut + div(b(x, t)φ(u)) = µ(t)div(|∇u| p−2∇u) com dados iniciais u0 ∈ L 1 (R n ) ∩ L ∞(R n ); em relação ao termo de velocidade advectiva arbitrária, apenas assumimos que b(x, t) e div b(x, t) são limitados. Em segundo, estendendo algumas ideias introduzidas por Alvarez et al obtemos uma formulação abstrata para provarmos continuidade de comutadores entre funções de BMO e uma classe abstrata de operadores lineares contínuos agindo em certos espaços de Lebesgue com pesos; em particular, esses resultados incluem vários resultados sobre estimativas para comutadores envolvendo operadores integrais fracionários e operadores pseudo-diferenciais.

In this dissertation, we will work on two problems. Firstly, using a technique based on energy methods we provide a rigorous study concerning global existence results and supnorm estimates for weak solution of advection-diffusion equations ut+div(b(x, t)φ(u)) = µ(t)div(|∇u| p−2∇u) with initial data u0 ∈ L 1 (R n )∩ L ∞(R n ); in respect of the arbitrary advective speed term, we only assume that b(x, t) and div b(x, t) are bounded. Secondly, extending previous ideas from the work of Alvarez et al we obtained an abstract framework to prove boundedness for commutators between BMO functions and a class of linear operators acting continuously on weighted Lebesgue spaces; in particular, such result includes as corollaries several results concerning commutator estimates for fractional integral operators and pseudo-differential operators.