Sobre a versão sharp da Desigualdade de Hausdorff-Young

Abstract

De acordo com a Desigualdade de Hausdorff-Young, temos ∥ bf∥q ≤ ∥f∥p para f ∈ L p , com 1 ≤ p ≤ 2 e 1/p+1/q = 1. Nesta dissertação, sob a hipótese de que q seja par, e considerando a Transformada de Fourier como sendo bf(y) = √ 1 2π R f(x)e −ixydx, obtemos a versão ótima desta desigualdade. Neste caso, mostramos que ∥ bf∥q ≤ (2π) 1 2q − 1 2p p 1 2p q − 1 2q ∥f∥p para qualquer f ∈ L p ; além disso, verificamos que vale a igualdade para funções da forma f(x) = e −ax2+ibx com a, b ∈ R e a > 0.

According to the Hausdorff-Young Inequality, we have ∥ bf∥q ≤ ∥f∥p for f ∈ L p , with 1 ≤ p ≤ 2 and 1/p+1/q = 1. In this dissertation, under the assumption that q is even, and by considering the Fourier Transform as being bf(y) = √ 1 2π R f(x)e −ixydx, we obtain the optimal version of this inequality. In this case, we show that ∥ bf∥q ≤ (2π) 1 2q − 1 2p p 1 2p q − 1 2q ∥f∥p for any f ∈ L p ; in addition, we verify that equality holds for functions of the form f(x) = e −ax2+ibx with a, b ∈ R and a > 0.