Diferenciabilidade em todo ponto de soluções de viscosidade do ∞-laplaciano

Abstract

Nesta dissertação, provamos o resultado de regularidade que afirma que soluções de viscosidade da equação homogênea −∆∞u = 0 em um domínio Ω ⊂ R n são diferenciáveis em todo ponto de Ω, onde ∆∞ é o operador ∞-laplaciano, uma extensão natural do operador p-laplaciano e definido por ∆∞u = Xn i,j=1 uxiuxjuxixj = D ∇2u∇u, ∇u E . Para isso, definimos as soluções de viscosidade de −∆∞u = 0 e apresentamos as equivalências entre uma função ser ∞-harmônica, satisfazer comparação com cones e ser solução do problema de extensão de Lipschitz em Ω, além de propriedades dessas funções. Ademais, é feita uma análise dos blow-ups de funções ∞-harmônicas, onde é mostrado que esses são lineares e que todos os blow-ups em um mesmo ponto são iguais, implicando no resultado de regularidade desejado. Utilizamos como referência diversos materiais que estabelecem resultados de existência, unicidade e regularidade para funções ∞-harmônicas, os quais utilizam propriedades previamente estabelecidas em outros artigos e são devidamente citados ao longo do texto. Referenciamos também os artigos precursores no estudo do ∞-laplaciano e elaboramos essa dissertação de modo que contenha o enunciado e prova de todos os resultados utilizados relativos a funções ∞-harmônicas.

In the present dissertation, we prove the regularity result asserting that viscosity solutions of the homogeneous equation −∆∞u = 0 in a domain Ω ⊂ R n are differentiable at every point of Ω, where ∆∞ is the ∞-Laplacian operator, a natural extension of the p-Laplacian operator, and defined by ∆∞u = Xn i,j=1 uxiuxjuxixj = D ∇2u∇u, ∇u E . For that purpose, we define the viscosity solutions of −∆∞u = 0 and present the equivalences between a function being ∞-harmonic, satisfying comparison with cones and being a solution to the Lipschitz extension problem in Ω, besides other properties of those functions. Furthermore, we analyze the blow ups of ∞-harmonic functions, demonstrating that they are linear and that all the blow-up limits at the same point are equal, thereby implying the desired regularity result. We use as reference numerous articles establishing results on existence, uniqueness, and regularity for ∞-harmonic functions, which in turn rely on properties established in other papers and are properly cited throughout the text. We also reference the pioneering articles in the study of the ∞-Laplacian and we develope this dissertation to state and prove every result used regarding ∞-harmonic functions.