Estimativas para soluções e existência de soluções optimais para problemas envolvendo o p-Laplaciano fracionário

Abstract

Neste trabalho, obtemos estimativas L∞ de soluções de equações diferenciais não lineares em termos do primeiro autovalor do domínio. Demonstramos que, para certas classes de problemas, se o primeiro autovalor for grande, o valor máximo da solução é pequeno. Posteriormente, conseguimos obter estimativas L∞ locais para soluções de um problema usando, entre outras coisas, o processo de interação de Moser. Como consequência, provamos que, dentre todas as soluções de um problema com medida do domínio prescrita, existe um subconjunto em Rn com essa medida, onde está definida uma subsolução que atinge a altura máxima.

In this work, we obtain L∞ estimates of solutions to nonlinear differential equations in terms of the first eigenvalue of the domain. We show that for certain classes of problems, if the first eigenvalue is large, the maximum value of the solution is small. Subsequently, we are able to obtain local L∞ estimates for solutions to a problem using, among other things, Moser’s iteration process. As a consequence, we prove that among all solutions of a problem with prescribed domain measure, there exists a subset in Rn with that measure, where a subsolution is defined that reaches the maximum height.