Conjuntos autossimilares, conjuntos autoafins e suas teorias de dimensão

Abstract

No presente trabalho faremos um estudo dos conjuntos autossimilares, dos conjuntos autoafins e suas teorias de dimensão, dando ênfase nas dimensões de Hausdorff e de Minkowski desses conjuntos. Apresentamos o conceito de Iterated Function System, e junto a ele o teorema de Hutchinson, que garante a existência e unicidade do atrator de um IFS. Discutiremos também a Open Set Condition e o Teorema de Moran, que garante o cálculo da dimensão de Hausdorff através de uma fórmula simples, para conjuntos satisfazendo essa condição. Também faremos um estudo do teorema de Falconer, que permite calcular a dimensão de Hausdorff de conjuntos autoafins. Por fim, faremos uma breve análise da Fórmula de Bowen, que calcula a dimensão de Hausdorff de sistemas mais gerais, com mapas não necessariamente lineares, por meio de noções de formalismo termodinâmico.

In this work we will study the self-similar sets, the self-affine sets and their theories of dimension, with emphasis on the Hausdorff and Minkowski dimension of these sets. We’ll present the notion of Iterated Function System along with Hutchinson’s Theorem, which guarantees the existence and uniqueness of the attractor of an IFS. We’ll discuss the Open Set Condition and Moran’s Theorem, which guarantees the calculation of Hausdorff Dimension of sets satisfying this condition in a simple way. We also present a study on Falconer’s Theorem, which present a formula for Hausdorff dimension of self-affine sets. Nevertheless, we make a brief analysis on the Bowen Formula, which permits calculating the Hausdorff dimension of more general systems, with not necessarily linear maps, using notions of thermodynamic formalism.