Simulação do problema de transporte em domínio não homogêneo com espalhamento anisotrópico

Abstract

Neste trabalho solucionamos a equação de transporte unidimensional com condições de contorno semi-refletivas em um domínio não homogêneo para os casos com espalhamento isotrópico e anisotrópico. Determinamos a solução do problema com espalhamento isotrópico por meio de duas diferentes metodologias nas quais usamos o método de Nyström na discretização. Essencialmente esse método se resume no truncamento da formulação integral da equação do transporte usando uma quadratura numérica. A primeira metodologia consiste em aplicar o método de Nyström para discretizar o problema originalmente proposto, enquanto, a segunda consiste em transformá-lo em um problema mais simples através de uma mudança de variável para depois aplicar a discretização. Ambas as equações integrais envolvem operadores com singularidades que são tratadas através de técnicas analíticas e computacionais. O problema de transporte com anisotropia, para os casos linear e quadrático, é solucionado aplicando somente a segunda metodologia. Os algoritmos dessas metodologias são implementados em linguagem de programação C com o auxílio de rotinas da GNU Scientific Library. O fluxo escalar é calculado para duas diferentes quadraturas numéricas, a saber, Gauss-Legendre e regra de Boole. A fim de validar a eficiências das metodologias propostas para o problema com espalhamento isotrópico nós comparamos nossos resultados numéricos nos casos homogêneo, multirregião e não homogêneo com dados disponíveis na literatura. Além disso, produzimos novos resultados numéricos resolvendo diversos problemas não homogêneos e comparamos as soluções obtidas pelas duas abordagens propostas. No caso do problema de transporte com anisotropia, simulamos os casos com espalhamento isotrópico, linear e quadrático e comparamos nossos resultados com dados da literatura.

In this work we solve the one-dimensional transport equation with semireflective boundary conditions and non-homogeneous domain for isotropic and anisotropic cases. We determine the solution the isotropic problem using two different methodologies and in both we use the Nyström method for discretization. This method consists of truncating the integral formulation of the transport equation using a numerical quadrature. The first methodology consists of applying the Nyström method to discretize the problem originally proposed, while the second consists of transforming it into a more simple problem through a change of variable and then applying the discretization. Both integral equations involve operators with singularities that are treated through analytical and computational techniques. The anisotropic transport problem, for isotropic and anisotropic cases, is solved by applying only the second methodology. The algorithms are implemented in C programming language with the use of routines of GNU Scientific Library. The scalar flux is calculated for two numerical quadrature, namely Gauss-Legendre and Boole’s rule. In order to validate the proposed methodologies for the isotropic problem, we compare our numerical results in homogeneous, multiregion and non-homogenneous cases with those numerical results from the literature. Furthermore, we produce new numerical results solving several non-homogeneous problems and compare our solutions obtained by the two approaches proposed in this work. In the case of the anisotropic transport problems, we simulate the cases with isotropic, linear and quadratic scattering and compare our results with those from the literature.