Solução de problemas estacionários e transientes da teoria da difusão de nêutrons multigrupo em geometria cartesiana via abordagens nodais e exponenciais matriciais

Abstract

Neste trabalho são apresentadas metodologias de solução para o problema estacionário e transiente da teoria da difusão de nêutrons multigrupo em geometria cartesiana em uma e duas dimensões. Em ambos os problemas, o domínio espacial é dividido em subintervalos (nodos) com propriedades constantes (meio homogêneo). Uma integração nodal é aplicada no modelo da difusão, obtendo variáveis médias em cada nodo: fluxos, concentrações de precursores e densidades de correntes. Essas densidades de correntes são aproximadas por cinco propostas, em função dos fluxos médios. No caso estacionário, esses procedimentos resultam em um problema algébrico de autovalor, para o qual são propostos três métodos de solução: Bissecção, Secante e Iterativo de Fonte. Como os métodos da Bissecção e da Secante fornecem apenas os autovalores, uma metodologia adicional é apresentada para a determinação dos respectivos autovetores. Para a solução do problema da cinética, é aplicada a mesma formulação nodal e aproximações das densidades de correntes, obtendo dois sistemas diferenciais na variável temporal, um para os fluxos e outro para os precursores, acoplados pelos termos fontes. Cada um desses dois sistemas é resolvido de forma desacoplada e iterativa, onde os termos fontes são atualizados a cada iteração. Para o sistema de equações diferenciais dos precursores, são desenvolvidas soluções analíticas e, para o sistema de equações diferenciais dos fluxos, são propostas tanto soluções numéricas como analíticas. Na proposta analítica para os fluxos, são apresentadas diferentes abordagens para a atualização do termo de fonte. Essas soluções analíticas dos fluxos estão associadas ao cálculo das exponenciais matriciais, para as quais são propostas três metodologias de solução: a primeira é a clássica, que decompõe a matriz em seus autovalores e seus autovetores correspondentes, a segunda é através das aproximações de Padé e a terceira é a partir da decomposição de Schur e do algoritmo de Parlett. Os resultados numéricos obtidos com as metodologias propostas são comparados a resultados presentes na literatura, mostrando satisfatória concordância. Foi observado, a partir da análise dos resultados, que as aproximações mais convenientes para as densidades de correntes foram aquelas que utilizam as médias dos coeficientes de difusão; que o método da Secante para a determinação da criticalidade e a metodologia desacoplada e iterativa para os problemas da cinética apresentaram um excelente desempenho. Além disso, a solução analítica dos sistemas diferenciais dos fluxos se mostrou precisa, porém, em geral, demanda um maior custo computacional.

In this work, methodologies for the solution of one and two dimensional steady-state and transient multigroup neutron diffusion equations in Cartesian geometry are presented. In both problems, the spatial domain is divided into subintervals (nodes) with constant properties (homogeneous media). A nodal integration is applied to the diffusion model and average variables at each node are obtained: fluxes, precursor concentrations and current densities. The current densities are expressed in terms of the average fluxes through five different schemes. In the stationary case, these procedures result in an algebraic eigenvalue problem, to which three solution methods are proposed: Bisection, Secant and Source Iteration. As the Bissection and Secant methods provide only eigenvalues, an additional methodology to determine the respective eigenvectors is presented. To solve the kinetics problem, the same nodal formulation and approximations of current densities are applied, resulting in two differential systems in the temporal variable: one for the fluxes and another for the precursors. The systems are coupled by the source terms. Each of these two systems is resolved in an uncoupled and iterative form, where the source terms are updated in each iteration. For the system of differential equations related to the precursors, analytical solutions are developed and, for the system of differential equations related to the fluxes, both numerical and analytical solutions are proposed. In the analytical proposal for the fluxes, different approaches for updating the source term are presented. These analytical solutions for fluxes are associated with the calculation of matrix exponentials, for which three solution methodologies are proposed: the first is the classic, which decomposes the matrix into its eigenvalues and their corresponding eigenvectors, the second is through Padé approximations and the third is from Schur’s decomposition and Parlett’s algorithm. The numerical results obtained by the proposed methodologies are compared to the results found in the literature. In these comparisons it was observed an excellent performance of the approximations of the current densities that use the averages of the diffusion coefficients, the Secant method for the determination of the criticality and the decoupled and iterative methodology for the kinetics problems. In addition, the analytical solution of the differential systems for the fluxes proved to be accurate, however, in general, it demands a higher computational cost.