Polinômios ortogonais e a integração numérica na esfera unitária

Abstract

Neste trabalho, são abordados os esquemas de quadraturas para integração na esfera unitária denominados Legendre-Chebyshev Quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev Triangular (PNTNSN) e Quadruple Range (QR). Tais esquemas são definidos como o produto de duas quadraturas gaussianas unidimensionais, uma associada a variável polar e outra associada a variável azimutal, que definem a direção das partículas na equação de transporte. As quadraturas PNTN e PNTNSN são construídas a partir das quadraturas de Gauss-Legendre e Gauss-Chebyshev, e se diferenciam pela forma como são combinadas as ordens das quadraturas unidimensionais utilizadas. Já a quadratura QR foi desenvolvida para o tratamento de problemas bidimensionais de transporte de partículas, e sua construção envolve a resolução de sistemas não lineares mal-condicionados. Contudo, as dificuldades encontradas na resolução dos sistemas não lineares são contornadas pela utilização de polinômios ortogonais não clássicos, transformando a obtenção dos nós e pesos da quadratura QR em um problema de autovalores de matrizes tridiagonais simétricas. Seguindo as ideias apresentadas na literatura para a geração das quadraturas QR via polinômios ortogonais não clássicos, são desenvolvidas duas variantes, resultando em dois novos conjuntos de quadratura para a variável azimutal. Além delas, também é proposta uma quadratura produto baseada na QR, que leva em conta a presença de uma singularidade azimutal. Como parte fundamental deste trabalho, é implementado na linguagem Fortran 95 versões em precisão simples, dupla e quádrupla dos algoritmos usados na construção das quadraturas, produzindo uma biblioteca de funções para a geração das mesmas. Com esta biblioteca, é possível obter tais quadraturas de forma rápida e com ordem arbitrária. Também é analisado o desempenho dos diferentes esquemas de quadraturas ao integrar polinômios nos cossenos diretores, tanto no octante principal quanto na esfera unitária, observando assim que os códigos implementados geram resultados de precisão elevada. Para a integração no octante principal, os esquemas QR que utilizam a quadratura Azimutal-QRS45 e Azimutal-QRA45 se mostraram os mais adequados considerando a precisão nos resultados obtidos e o baixo tempo computacional. Para a esfera unitária, os esquemas PNTN e QRJ45m_QN apresentaram resultados mais precisos, juntamente de um baixo tempo computacional. Além disso, tanto no octante principal quanto na esfera unitária, os esquemas QR baseados na quadratura Azimutal-QRS45 mostraram resutados mais precisos e tempos computacionais semelhentes aos esquemas baseados na quadratura Azimutal-QRA45.

In this work, the quadrature schemes for integration in the unitary sphere called Legendre-Chebyshev Quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev Triangular (PNTNSN) and Quadruple Range (QR) are addressed. Such schemes are defined as the product of two one-dimensional Gaussian quadratures, one associated with the polar variable and the other associated with the azimuth variable, which define the direction of the particles in the transport equation. The PnTn and PnTnSn quadratures are obtained from the Gauss- Legendre and Gauss-Chebyshev quadratures but differ from these in how are combined the degrees of the unidimensional quadrature used. On the other hand, the QR quadrature has been developed to deal specifically with bidimensional particle transport problems but its obtaining requires the solution of ill-conditioned nonlinear systems of equations. This difficulty is overcome by using non-classical orthogonal polynomials that have allowed us to obtain the roots and weights of the QR quadrature from the solution of a well-conditioned, tridiagonal symmetric eigenvalue problem. Following the ideas presented in the generation of QR quadratures via non-classical orthogonal polynomials, two variants are developed, resulting in two new sets of quadrature for the azimuth variable. In addition to them, a quadrature product based on the QR quadrature is also proposed, which considers the presence of an azimuth singularity. As a fundamental part of this work, a library of functions written in Fortran 95 provides implementations of the algorithms that describe the quadrature schemes. These functions generate, in single-, double- and quadruple-precision, the quadratures nodes and weights, making it possible to obtain such quadratures quickly and in an arbitrary order. Using our implementations, the performance of the different quadrature schemes is also analyzed when integrating polynomials in the cosine directors, both in the principal octant and in the unitary sphere, thus observing that the implemented codes generate high precision results. For integration in the principal octant, the QR schemes that use the Azimutal-QRS45 and Azimutal-QRA45 quadrature proved to be the most adequate, presenting better numerical results than the others. For the unit sphere, the PNTN and QRJ45m_QN schemes presented the best results, followed by the QRS45m_QN quadrature. Also, we note that both in the principal octant and in the unit sphere, the QR schemes based on the Azimutal-QRS45 quadrature proved to be superior to the schemes based on the Azimutal-QRA45 quadrature.