Sistema óptico de dois refletores via transporte ótimo

Abstract

Nas ultimas três décadas, problemas de transporte vêm despertando interesse em diversas áreas como equações diferenciais parciais, mecânica do fluídos, geometria e teoria de probabilidade. Dentro deste contexto, o presente trabalho é o início do estudo em transporte ótimo de massa com uma aplicação em sistema óptico. No documento, são descritos princípios de óptica geométrica necessários para a modelagem do sistema, e introduzidos os problemas de transporte de Monge e de Kantorovich. Por fim, aplica-se a teoria de transporte para um problema de transferência de sinais luminosos em um sistema constituído de dois refletores. O objetivo é, dada duas funções integráveis não-negativas, que representam as intensidades luminosas da entrada e da saída do sistema, determinar as posições e os tipos de refletores que transformem a intensidade luminosa da entrada na intensidade luminosa da saída, obedecendo a lei de conservação de energia. Para isso, definiu-se uma solução fraca para esse problema, e a existência dessa solução foi obtida através de dois problemas de minimização distintos, um problema de Monge e um problema de cálculo variacional.

In the last three decades, optimal transport problems have been attracting interest in di erent areas such as partial di erential equations, uid mechanics, geometry and probability theory. In this context, the present work is the beginning of the study in optimal mass transport with an application in the optical system. Principles of geometric optics that are required for the modeling of the system are described, and the transport problems of Monge and Kantorovich are introduced. Finally, the transportation theory is applied to a problem of transfering light signals within a system consisting of two re ectors. Considering two non-negative integrable functions, which represent the luminous intensities at the entrance and exit of the system, the research goal is to determine the positions and types of re ectors that transform the luminous intensity at the entrance in the luminous intensity at the exit, obeying the law of conservation of energy. For this purpose, a weak solution was de ned for this problem, and the existence of this solution was obtained through two di erent minimization problems, a Monge problem and a calculus of variations problem.