Predição de um modelo SIR com taxa de infecção variante no tempo para diferentes períodos

Abstract

Epidemias afetam a humanidade com frequência. Quando sua propagação atinge todo o planeta, cofigura-se uma pandemia. No ano de 2020, o mundo enfrentou surtos de contaminação de uma doença respiratória causada por um novo coronavírus, o que exigiu das autoridades competentes a implementação de medidas de combate e prevenção. A compreensão da dinâmica de epidemias é essencial para prever cenários e fundamentar decisões, motivo pelo qual o uso de modelos matemáticos constitui uma ferramenta indispensável para descrever o comportamento dessas doenças. Entre os modelos mais utilizados, destacam-se os compartimentais, que dividem a população afetada em classes com características e inter-relações bem definidas. Esses modelos são estruturados com base em conjuntos de equações diferenciais que descrevem as taxas de variação das categorias populacionais que os compõem. Um exemplo notável é o modelo SIR (Suscetível-Infectado-Removido), que inclui parâmetros constantes representando as taxas de transmissão da doença e de remoção do grupo infectado. No entanto, o uso de valores constantes para descrever a taxa de transmissão ao longo de períodos prolongados pode não ser eficiente, dado que alterações no comportamento das pessoas, medidas governamentais e a evolução da própria doença podem modificar tal parâmetro nesse intervalo de tempo. Com base nessa premissa, este trabalho propôs uma abordagem para o modelo compartimental SIR que modifica o parâmetro de infecção, permitindo que, em vez de assumir um valor constante, seja variante no tempo. Essa modificação possibilitou a representação da atividade da COVID-19 em períodos mais extensos. Para validar o novo modelo, foram utilizados dados oficiais fornecidos pelo governo do Estado do Rio Grande do Sul. Por meio desses dados, aplicou-se um algoritmo de otimização destinado a minimizar o somatório dos quadrados dos erros entre o total de infectados registrado nos dados e o valor simulado pelo modelo. Posteriormente, os resultados obtidos foram comparados ao comportamento real da doença no estado, atestando a precisão do modelo. Além disso, com base nas taxas de infecção estimadas pelo algoritmo, investigou-se a capacidade do modelo de prever a atividade da doença em cenários futuros. O cálculo do erro percentual entre o número total de infectados observado no período e a previsão do modelo revelou que, para intervalos de 7 ou 14 dias, o modelo apresentou resultados satisfatórios de predição, com erros percentuais inferiores a 0, 13% e 0, 6%, respectivamente.

Epidemics frequently affect humanity. When their spread reaches the entire planet, a pandemic is established. In 2020, the world faced outbreaks of a respiratory disease caused by a new coronavirus, which required competent authorities to implement measures for combating and preventing it. Understanding the dynamics of epidemics is essential for predicting scenarios and informing decisions, which is why the use of mathematical models is an indispensable tool for describing the behavior of these diseases. Among the most commonly used models, compartmental models stand out, which divide the affected population into classes with well-defined characteristics and interrelations. These models are structured based on sets of differential equations that describe the rates of change of the population categories they comprise. A notable example is the SIR (Susceptible-Infected-Removed) model, which includes constant parameters representing the disease transmission rates and the removal rate of the infected group. However, using constant values to describe the transmission rate over extended periods may not be efficient, as changes in people's behavior, government measures, and the evolution of the disease itself can alter this parameter over time. Based on this premise, this study proposed an approach to the SIR compartmental model that modifies the infection parameter, allowing it to vary over time instead of assuming a constant value. This modification enabled the representation of COVID-19 activity over extended periods. To validate the new model, official data provided by the government of the State of Rio Grande do Sul were used. Using this data, an optimization algorithm was applied to minimize the sum of squared errors between the total number of infected individuals recorded in the data and the value simulated by the model. Subsequently, the results obtained were compared to the actual behavior of the disease in the state, confirming the accuracy of the model. Additionally, based on the infection rates estimated by the algorithm, the model's ability to predict the disease's activity in future scenarios was investigated. The calculation of the percentage error between the total number of observed infections during the period and the model's forecast revealed that, for 7-day or 14-day intervals, the model provided satisfactory prediction results, with percentage errors lower than 0.13% and 0.6%, respectively.