Minimizantes quasi-abertos e propriedade da média no contexto não-local

Abstract

Neste trabalho, investigamos novas propriedades do Laplaciano fracionário, um operador não-local que tem atraído grande atenção. Apresentamos dois resultados principais: o primeiro garante a existência de minimizantes quasi-abertos para um funcional relacionado a este operador, obtido através de propriedades de conjuntos com perímetro fracionário finito; o segundo apresenta uma versão não-local da Propriedade da Média para funções sub-harmônicas no contexto fracionário, obtido a partir de propriedades da transformada de Fourier e da solução fundamental do Laplaciano fracionário. Estes resultados se relacionam com a técnica do Princípio de Seleção, que permite restringir o estudo de desigualdades geométricas para uma classe de conjuntos regulares.

In this work, we investigate new properties of the fractional Laplacian, a nonlocal operator that has received great attention. We present two main results: the first guarantees the existence of quasi-open minimizers for a functional related to this operator, obtained through properties of sets with finite fractional perimeter; the second presents a non-local version of the Mean Value Property for sub-harmonic functions in the fractional context, obtained from properties of the Fourier transform and of the fundamental solution of the fractional Laplacian. These results are related to the technique of the Selection Principle, which allows restricting the study of geometric inequalities to a class of regular sets.