Relações sobre anéis e módulos de n-cadeia

Abstract

Neste trabalho estudamos os módulos e os anéis n-cadeias a partir dos anéis seriais e dos anéis semiperfeitos e semidistributrivos. Explorando a conexão entre a ndistributividade e a n-comparabilidade respondemos, de forma afirmativa, a questão aberta apresentada em [4] a qual pergunta se o o módulo livre de rank m sobre um anel (n + 1)-distributivo tem índice de distributividade mn + 1 (Teorema 2.36). Mostramos também que a n-comparabilidade pode ser avaliada sobre os elementos das componentes de qualquer decomposição de Pierce de um anel (Proposição 2.27). Tal resultado teve implicações sobre o comportamento das coberturas projetivas e módulos finitamente apresentados sobre anéis semiperfeitos de n-cadeia, dentre elas, uma generalização para [18, Proposition 1.25] (Proposição 3.15), inicialmente provada para anéis seriais, mostrando após isso que os anéis semiperfeitos do tipo de representação limitara são de n-cadeia.

In this work, we study the n-chain modules and rings arising from serial rings and semiperfect semidistributive rings. By exploring the connection between n-distributivity and n-comparability, we affirmatively answer the open question posed in [4], which inquires whether the free module of rank m over an (n + 1)-distributive ring has a distributivity index of mn + 1 (Theorem 2.36). We also demonstrate that n-comparability can be assessed on the elements of the components of any Pierce decomposition of a ring (Proposition 2.27). This result has implications for the behavior of projective covers of finitely presented modules over semiperfect n-chain rings, including a generalization of [18, Proposition 1.25] (Proposition 3.15), initially showed for serial rings. Subsequently, we show that semiperfect rings of bounded representation type are n-chain rings.