Álgebras de Hopf fracas sobre anéis comutativos e extensões de Hopf-Ore primitivas fracas

Abstract

Uma extensão de Ore é, essencialmente, uma estrutura de anel no módulo livre A[X], onde os elementos de A não necessariamente comutam com a indeterminada X e para a qual vale a regra do grau, deg(pq) ≤ deg(p) + deg(q). Uma álgebra de Hopf fraca sobre um anel comutativo é um módulo, munido de uma estrutura de álgebra, uma estrutura de coálgebra, alguns axiomas de compatibilidade entre estas estruturas e um morfismo especial S ∈ Endk(H). Assim, uma extensão de Hopf-Ore fraca é uma extensão de Ore de uma álgebra de Hopf fraca, munida de uma estrutura de álgebra de Hopf fraca que estende a estrutura da álgebra de Hopf fraca original. Neste trabalho, vamos apresentar condições necessárias e suficientes para a construção de uma extensão de Hopf-Ore fraca cujo gerador é primitivo fraco, trazendo para o contexto de álgebras sobre anéis comutativos os resultados obtidos por R. dos Santos [16, 2017]. Em especial, vamos apresentar a classificação destas extensões quando H é uma álgebra de grupóide conexo.

An Ore extension is, essentially, a ring structure on the free module A[X], where the elements of A do not necessarily commute with the indeterminate X and for which holds the degree rule, deg(pq) ≤ deg(p) + deg(q). A weak Hopf algebra over a commutative ring is a module, equipped with an algebra structure, a coalgebra structure, some compatibility axioms between these structures and a special morphism S ∈ Endk(H). Thus, a weak Hopf-Ore extension is an Ore extension of a weak Hopf algebra endowed with a weak Hopf algebra structure that extends the structure of the original weak Hopf algebra. In this work, we will present necessary and sufficient conditions for the construction of a weak Hopf-Ore extension whose generator is a weak primitive element, bringing to the context of algebras over commutative rings the results obtained by R. dos Santos [16, 2017]. In particular, we present the classification of these extensions when H is a connected groupoid algebra.