Out-of-equilibrium statistical mechanics applied to two-dimensional fluids

Abstract

Systems whose components interact through long-range forces, such as self-gravitational systems and non-neutral plasmas, exhibit some intriguing properties compared to systems with screened or short-range forces. These systems evolve from perturbed states to longlived transient states, often referred to as quasi-stationary states, and reach equilibrium only under certain conditions and on a very long time scale. Although technically there is no equilibrium, in many cases the behavior of quasi-stationary states can be described with a few macroscopic variables, suggesting a statistical approach. However, the tools of equilibrium statistical mechanics are not suitable for dealing with systems with long-range interactions. Not only do such systems exhibit special thermodynamic properties, such as negative specific heat and ensemble inequality, but their dynamics are predominantly non-collisional. Therefore, the dynamical properties must also be taken into account. In this thesis, we investigate these phenomena using theoretical models and numerical simulations. In particular, we use Kirchhoff’s vortex formulation for two-dimensional Euler fluids to study the equilibrium state into which a two-dimensional incompressible fluid relaxes from an arbitrary initial flow. Employing Lynden-Bell relaxation theory, we then developed a method to find the state of maximum entropy of the fluid while preserving all Casimir invariants. We then approach quasi-stationary states by further developing the method to include the core-halo model with excellent results.

Sistemas cujos constituintes interagem através de forças de longo alcance, como sistemas auto-gravitacionais e plasmas não neutros, exibem algumas propriedades intrigantes em comparação com sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Esses sistemas evoluem de estados perturbados para estados transitórios de longa duração, geralmente chamados de estados quase-estacionários, e atingem o equilíbrio apenas sob certas condições e em uma escala de tempo muito longa. Embora tecnicamente não haja equilíbrio, em muitos casos o comportamento de estados quase estacionários pode ser descrito com algumas poucas variáveis macroscópicas, sugerindo uma abordagem estatística. No entanto, as ferramentas da mecânica estatística de equilíbrio não são adequadas para lidar com sistemas com interações de longo alcance. Tais sistemas não apenas exibem propriedades termodinâmicas especiais, como calor específico negativo e desigualdade de conjunto, mas sua dinâmica é predominantemente não colisional. Portanto, as propriedades dinâmicas também devem ser levadas em consideração. Nesta tese, investigamos esses fenômenos usando modelos teóricos e simulações numéricas. Em particular, usamos a formulação de vórtices de Kirchhoff para fluidos de Euler em duas dimensões para estudar o estado de equilíbrio no qual um fluido incompressível bidimensional relaxa a partir de um condição inicial arbitrária. Empregando a teoria de relaxamento de Lynden-Bell, desenvolvemos então um método para encontrar o estado de entropia máxima do fluido preservando todos os invariantes de Casimir. Em seguida, abordamos estados quase estacionários desenvolvendo ainda mais o método para incluir o modelo core-halo com excelentes resultados.