A mean-field method for generic conductance-based integrate-and-fire neurons with finite timescales

Abstract

The construction of transfer functions in theoretical neuroscience plays an important role in determining the behavior of the spiking rate of neurons in networks. They can be obtained by a variety of fitting methods where the biological relevance of the parameters is not always clear. However, this type of function can be obtained for stationary inputs by the use of mean-field methods, without adjustment of free parameters. For a simple current base integrate and fire neuron, where the noise is white and addictive, the transfer function was obtained by Amit and Brunel through the construction of a Fokker-Planck equation. Several extensions to this method were introduced to account for different types of neurons, but the problem of a generic colored multiplicative noise has yet to be tackled. Here we proposed a solution to this problem. To do this, we reduced the stochastic system resulting from the application of the diffusion approximation to a one dimensional Langevin equation. This Langevin equation is therefore colored and cannot produce a exact Fokker-Planck equation. We then used an extension to the Fox theory to build an effective Fokker-Planck equation with the multiple sources of colored and multiplicative noise. The firing rate was then calculated numerically from the resulting stationary Fokker-Planck. The solution was able to reproduce the transfer function behavior of the simulated neurons in a wide range of parameters. The method is also easily extendable to account for different sources of noise with different multiplicative terms, and in principle can be used in other types of problems.

A construção de funções de transferência na neurociência teórica desempenha um importante papel na determinação do comportamento das taxas de disparos de neurônios em redes. Elas podem ser obtidas por uma variedade de métodos de ajuste onde a relevância dos parâmetros biológicos não são sempre claros. Entretanto, esses tipos de funções podem ser obtidos para entradas estacionárias pelo uso de métodos de campo médio, sem o ajuste de parâmetros livres. Para um neurônio simples de integração e disparo baseado em correntes, onde o ruído é branco e aditivo, a função de transferência foi obtida por Amit e Brunel através da construção de uma equação de Fokker-Planck. Varias extensões para esse método foram introduzidas para dar conta de diferentes tipos de neurônios, mas o problema de um ruído genérico, colorido e multiplicativo ainda não foi atacado. Aqui nós propomos uma solução a esse problema. Para fazer isso, nos reduzimos o sistema estocástico que resulta da aplicação da aproximação de difusão a uma equação de Langevin unidimensional. Essa equação de Langevin é então colorida e não pode produzir uma equação de Fokker-Planck exata. Nos então usamos uma extensão para a teoria de Fox para construir uma equação de Fokker-Planck efetiva com múltiplas fontes de ruído colorido e multiplicativo. A taxa de disparos foi então calculada numericamente partindo da Fokker-Planck estacionária resultante. A solução foi capaz de reproduzir o comportamento da função de transferência dos neurônios simulados em uma grande gamma de parâmetros. O método também pode ser facilmente estendido para considerar diferentes fontes de ruído com diferentes termos multiplicativos, e a princípio pode ser utilizado em outros tipos de problemas.