Estudo numérico de padrões espaciais e condensação em modelos de partículas sob contrafluxo

Abstract

Neste trabalho, propusemos um modelo estocástico para descrever a dinâmica de duas espécies de partículas que se deslocam contrariamente em uma rede bidimensional com condições de contorno periódicas. Nossa proposta consiste em definir as probabilidades de transição dos agentes para suas primeiras células vizinhas como distribuições do tipo Fermi-Dirac adaptadas ao contexto de dinâmica de partículas. Assim, a partir de um parâmetro que controla o grau de estocasticidade do sistema (α), o modelo reproduz uma variedade de cenários partindo de um regime de dinâmica com alta aleatoriedade, onde partículas das duas espécies deslocam-se na rede de maneira descorrelacionada, até o regime de baixa estocasticidade, onde a dinâmica é fortemente correlacionada e o movimento na rede dependerá da relação entre o níıvel de ocupação das células vizinhas e o valor de ocupação máximo (σmax). A partir de simulações de Monte Carlo e integração numérica de equações diferenciais parciais acopladas, mostramos que existe uma transição abrupta em α = αc, onde αc depende da densidade média de partículas no sistema. Quando consideramos o caso em que há apenas interação entre entes de espécies diferentes, mostramos que o sistema passa a apresentar alta sensibilidade com as condições iniciais, de modo a poder relaxar para três estados estacionários: estado móvel com auto-organização, estado imóvel com formação de condensados e estado com coexistência de fases. Nesse cenário, o estado de coexistência mostra-se pouco provável de ocorrer, de maneira a observarmos o fenômeno de bimodalidade do estado estacionário (fase móvel ou fase imóvel). Entretanto, ao generalizarmos a dinâmica, a partir do estudo de magnitude dos fatores de interação, conseguimos mapear qualitativamente as condições de ocorrência dos fenômenos de bimodalidade e coexistência que o modelo apresenta.

This work proposed a stochastic model to describe the dynamics of two species of particles moving in opposite directions on a two-dimensional lattice with periodic boundary conditions. Our proposition consists of defining the agent’s transition probabilities to the first neighboring cells as Fermi-Dirac-like distributions adapted to the context of particle dynamics. This way, by adjusting a single parameter (α), our model can describe a variety of scenarios ranging from a high level of randomness with uncorrelated particles moving along the lattice to a scenario with a low level of randomness with strongly correlated dynamics in which the movement in the lattice depends on the relation between the neighboring cells occupation level and the maximum level of occupation (σmax). Using Monte Carlos simulations and numerical integration of coupled differential equations, we show that an abrupt transition occurs when α = αc, which value depends on the average density of particles. When we consider only the interaction between particles of different species, we show that the system presents sensitive dependence with initial conditions, and we observe three different steady states: mobile state with lane formation, a jammed state with condensates, and a phase coexistence state (mobile phase and jammed phase). In this case, the latter state rarely happens, in the sense that we observe a bi-modality phenomenon on the steady-state (mobile or jammed). However, when we generalize the dynamics by studying different magnitudes of the interaction factor, we qualitatively map the occurrence conditions of the bi-modality phenomenon and the coexistence state that rises from the model.