Sistemas de Haar, probabilidades quase invariantes e estados KMS sobre algebras de von Neumann e sobre C ∗ -algebras em grupoides dinamicamente definidos

Abstract

Neste trabalho são analisados sistemas de Haar associados à grupoides obtidos por diversas relações de equivalência especialmente de caráter dinâmico. A dinâmica básica considerada é a do shift e portanto foca-se em relações sobre conjuntos como {1; 2; ... d}Z, {1; 2; ...D}N ou (S1)N. Também são descritas propriedades de funções transversas, probabilidades quase invariantes e estados KMS sobre álgebras de von Neumann (e também sobre álgebras C*) associada a estes grupoides. Iremos mostrar que alguns destes estados KMS estão relacionados a estados de Gibbs do formalismo termodinâmico (via medidas quase invariantes) sobre o espaço simbólico {1; 2;...; d}N. Também é explorado aqui um resultado de Ruelle e Haydn onde é obtida uma relação de equivalência entre estados KMS de certas álgebras C* e probabilidades de equilíbrio do formalismo termodinâmico. Este resultado é obtido aqui no contexto da relação de equivalência homoclínica em {1; 2; ... d}Z (um setting mais simples do que o considerado por Ruelle e Haydn que considera diffeomorfismos do tipo Axioma A). A vantagem do ponto de vista de considerar o shift agindo no espaço simbólico (seguido no presente trabalho) é que num setting mais simples as principais ideias por trás das diversas demonstrações se tornam mais claras. Elas podem ser entendidas sem a necessidade de ter que enfrentar certas tecnicalidades, por exemplo, associadas a desintegração nas variedades instáveis. Os estados KMS desempenham na Mecânica Estatística Quântica o papel das medidas de Gibbs na Mecânica Estatística Clássica. A seção 3.5 descreve as propriedades básicas da integração não comutativa, mais precisamente, a relação entre medidas transversas, funções transversas, cociclos e probabilidades quase invariantes (seguindo a apresentação de [18] ). Ressaltamos aqui o fato que conseguimos apresentar uma pequena parte do trabalho “Sur la Theorie commutative de de l'integration" by of A. Connes (see [18] ) numa linguagem que pode ser mais facilmente entendida pela comunidade de Teoria Ergódica. Todos os resultados no presente trabalho são expressos na linguagem de Teoria Ergódica.

We analyse Haar systems associated to groupoids obtained by certain equivalence relations of dynamical nature on sets like {1; 2; ... d}Z, {1; 2; ...D}N,S1 x S1, or (S1)N, where S1 ou (S1)N, where S1 is the unitary circle. We also describe properties of transverse functions, quasi-invariant probabilities and KMS states for some examples of von Neumann algebras (and also C*-Algebras) associated to these groupoids. We relate some of these KMS states with Gibbs states of thermodynamic formalism via quasi-invariant probabilities. We also explore a result by Ruelle and Haydn where it is shown an equivalence of KMS states of C*-algebras with equilibrium probabilities of Thermodynamic Formalism. Not surprisingly such result is also obtained in the context of equivalence relations. Such result is obtained here in a simpler setting, with the advantage that in this setting the main ideas of the proofs can be clearly written in the context of measure and ergodic theory. The KMS states play the role in Quantum Statistical Mechanics of the Gibbs probabilities in Classical Statistical Mechanics. Section 3.5 describes the basic properties of non commutative integration, more precisely, the relation of transverse measures, transverse functions, cocycles and quasi-invariant probabilities (according to [18]). We point out that we were able to present a small part of the work “Sur la Theorie commutative de l'integration" by of A. Connes (see [18] ) in a language more easily understandable for the ergodic theory community.