Contribuições à teoria matemática de sistemas micropolares

Abstract

The first goal in this work was to prove the Leray problem for the micropolar system following a simple solution recently obtained in [30] to Navier-Stokes equations. In [20], Leray left a open problem about asymptotic decay that was solved later by Kato. Such problem says that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. In solving the problem, we observe that the micro-rotational velocity decay faster than the velocity field u. Hence, we show some natural extensions of this property. More specically, we get more detailed information about the L∞ norm, high order derivatives L2 norm decay and Sobolev spaces decay. Finally, we will generalize the results obtained in [14], showing a sequence of fundamental inequalities about the Hs norm of the solutions. Furthermore, we present some analysis results, Sobolev inequalities e some Heat Kernel property that will be necessary in our analysis.

O objetivo inicial do presente trabalho foi provar o problema de Leray para o sistema micropolar seguindo uma solução simples recentemente obtida em [30] para as equações de Navier-Stokes. Em [20], Leray deixou um problema de decaimento assintótico em aberto que foi resolvido posteriormente por Kato [16]. Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Ao provar o problema de Leray, observamos uma taxa de decaimento mais rápida para a velocidade microrrotacional w em relação ao campo u da velocidade. A partir disso, mostramos algumas generalizações naturais dessa propriedade. Mais especificamente, obtemos informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L∞ , o decaimento L2 das derivadas de ordem mais alta e, por conseguinte, o decaimento em espaços de Sobolev. Por fim, vamos generalizar os resultados obtidos em [14], mostrando uma sequência de desigualdades fundamentais sobre a norma Hs das soluções. Além disso, são apresentados alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e várias propriedades sobre a equação do Calor, dado que tais propriedades se fazem necessárias em nossa análise.