Estudo da noção de taxa de variação no ensino médio

Abstract

O conceito de taxa de variação é muito útil no estudo das funções reais de uma variável real e, por ser elementar, pode ser apresentado e discutido no Ensino Médio. A proposta deste trabalho é fazer um estudo detalhado e criterioso do uso da taxa de variação no estudo das funções afins, quadráticas e cúbicas. Com isso, pretende-se desenvolver resultados e apresentar diversas aplicações deste conceito a estas classes de funções que incluem, por exemplo, novas formas de obtenção dos seus gráficos, a interpretação geométrica de seus coeficientes, bem como resolver problemas simples e interessantes de otimização. Quanto às funções quadráticas, como aplicação do estudo feito sobre estas funções, apresentamos uma maneira matematicamente rigorosa de conceituar o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), bem como, obtemos as equações horárias deste movimento. A definição que apresentamos é equivalente a usual, mas não faz uso dos Cálculos Infinitesimal e Integral. Como nosso objetivo é eminentemente matemático, não apresentamos qualquer interpretação Física deste conceito na forma que o introduzimos. Já o estudo das funções cúbicas pode ser visto como uma interessante aplicação das funções quadráticas, uma vez que, através do uso das taxas de variação, a descrição (traçado do gráfico) de uma função cúbica é reduzida ao estudo do sinal de uma função quadrática associada.

The concept of rate of change is very useful in the study of real functions of one real variable. Since this is a simple concept it can be presented and discussed in high school. The purpose of this work is to make a comprehensive study use of the rate of change in the study of the affine, quadratic and cubic functions. We prove results and present several applications of this concept to these classes of functions that include, for example, new ways of obtaining their graphs, geometric interpretation of their coefficients, and the solution of simple and interesting optimization problems. As for the quadratic functions, as an application of our study about these functions, we obtain in a mathematically rigorous definition of Uniformly Varied Rectilinear Motion and obtain the equations of the motion without using the Infinitesimal or Integral Calculus. Since we were essentially concerned with the mathematical aspect of this phenomenon, we did not present a discussion about the physical interpretation of our definition. The study of cubic functions can be seen as an interesting application of the quadratic functions, since through the use of rate changing, the description of the graph of a cubic function is reduced to the study of the sign of a quadratic function associated to the given cubic.