Método numérico para a solução da Equação da difusão em redes quadradas aplicado a migração celular

Abstract

A migração celular desempenha um papel fundamental em diversos processos biológicos e, portanto, compreender seu mecanismo e sua dinâmica é crucial para desvendar fenômenos complexos. O movimento celular pode ser tratado por meio da equação de Langevin para uma partícula browniana movendo-se em um líquido viscoso. Nesses modelos, a velocidade da célula é uma grandeza física bem definida, passível de ser medida com o protocolo usual onde velocidade é medida pela razão entre deslocamento e intervalo de tempo. No entanto, experimentos mostram um comportamento difusivo para curtos intervalos de tempo, impedindo a definição de uma velocidade instantânea, questionando a validade desse modelo. Recentemente um modelo anisotrópico de migração que recria essa dinâmica foi proposto ao considerar um vetor de polarização, que define uma orientação preferencial de migração ao longo do qual a velocidade instantânea é bem definida, descrita por uma equação de Langevin; e uma direção ortogonal à polarização na qual a célula descreve um movimento difusivo. A orientação do vetor polarização é uma variável adicional do modelo e é continuamente atualizada. Um algorítimo para simular essa nova dinâmica permite que efeitos de interação não resolvidos analiticamente, como exclusão de volume, sejam adicionados. Para isso, foi considerada uma equação da continuidade para a densidade de probabilidade de encontrar a célula em uma dada posição sobre um plano e com um dado vetor de polarização. A dinâmica da célula é diferente para as direções paralela e ortogonal à polarização. O espaço plano é considerado como uma rede quadrada. Os resultados mostram que o algoritmo consegue separar as dinâmicas, evitando erros numéricos quando a difusão é oblíqua à rede real. O método proposto é novo e, portanto, não existe na literatura. Dessa forma, o objetivo do trabalho é demonstrar sua viabilidade e suas vantagens quando aplicado nesse tipo de problema.

Molecular structure and dynamics of cell migration are fundamental to the understanding of the complex biological processes, hence, their mechanism and dynamics are crucial for unraveling complex biological phenomena. Cellular motion can be described by the Langevin equation for a brownian particle moving in a viscous liquid. In these models, cell velocity is a well-defined physical quantity, measurable through the standard protocol where velocity is determined by the ratio between displacement and time interval. However, experiments reveal a diffusive behavior for short time intervals, hindering the definition of an instantaneous velocity and questioning the validity of this model. Recently, an anisotropic migration model which recreates this dynamic was proposed by considering a polarization vector, defining a preferred migration orientation along which the instantaneous velocity is well defined, described by a Langevin equation; and a direction orthogonal to polarization, where the cell undergoes diffusive motion. The orientation of the polarization vector is an additional variable in the model and is continuouslly updated. An algorithm to simulate this new dynamic allows the inclusion of interaction, such as volume exclusion, that may not be exactly solvable. Here, a continuity equation for the probability density of finding the cell at a given position on a plane, with a given polarization vector was considered. The cell dynamics differ for directions parallel and orthogonal to polarization. The plane space is described as a square lattice. Our results demonstrate that the algorithm can separate the dynamics, avoiding numerical errors when the diffusion is oblique to the real lattice. This method is new and, therefore, does not exist in the literature. Thus, the objective is to demonstrate its feasibility and advantages when applied to this kind of problem.