Topological properties of BDI class condensed systems

Abstract

In this dissertation, topological properties of quantum mechanical non-interacting condensed matter systems are reviewed. Firstly, the formalism of the topological band theory is developed, by defining one of the principal quantities of topological quantum systems, the Berry geometric phase, to explore the geometrical features of such phase, like the Berry connection and curvature, with emphasis in two levels systems. In the next chapter, one of the simplest models of one dimensional topological insulators is explored, the Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model. The non-unitary symmetry conditions are introduced and other models, derived from symmetry breaking processes, are presented. In the last chapter, the 1-D Kitaev p-wave superconductor model is studied and extended for long-range interactions (keeping the imposed symmetries valid). Topological properties are calculated. Topological phase diagrams are obtained, edge modes and fermion parity properties are discussed.

Na presente dissertação, as propriedades topológicas de sistemas quânticos da matéria condensada são revistas. Inicialmente, o formalismo da teoria de bandas topológicas é desenvolvido, desde a definição de uma das principais quantidades dos sistemas topológicos quânticos, a fase geométrica de Berry, até explorar quantidades geométricas derivadas, como a conexão e a curvatura de Berry, com ênfase em sistemas de dois níveis. Logo depois, no seguinte capítulo é descrito um dos mais simples modelos de isolantes topológicos em uma dimensão, o modelo Su-Schrieffer-Heeger (SSH). As condições sobre simetrias não-unitárias são introduzidas e outros modelos, derivados do procedimento de quebra dessas simetrias, são apresentados. No último capítulo, o modelo de Kitaev supercondutor 1-D de onda-p é estudado e extendido para interações de longo alcance (mantendo as simetrias impostas intactas). Diagramas de fases topologicas são obtidos, modos de Majorana nas bordas e as propriedades da paridade fermiônica são discutidos.